Flusso luminoso ricevuto da un osservatore da una area angolare di cielo

Calcoliamo ora un espressione approssimata per il flusso luminoso $\Phi$ ricevuto da un osservatore in O in un area di superficie unitaria e proveniente da un area angolare di cielo $\omega$.

Consideriamo un volumetto infinitesimo di atmosfera situato lungo la linea di vista nel punto P alla distanza u da O, ad un altitudine h e di volume $dV = \omega u^{2} du$, come illustrato nella figura 2.39.

Figure 2.39: Genesi della luminosità del cielo notturno.

Il volume totale da cui proviene la luce che ha subito diffusione è l'integrale dei volumi infinitesimi dV . Nel volumetto considerato arriva, come abbiamo visto, un flusso diretto per unità di superficie $i_{d}=\frac{I_{s}}{s^{2}}E_{sp}$ ove I_s è il flusso emesso dalla sorgente per unità di angolo solido ed E_sp è l'estinzione  nel percorso da S a P di lunghezza s. Un ulteriore flusso per unità di superficie i_ms arriva dopo aver subito diffusione più volte da parte delle particelle dell'atmosfera. Quella parte di quest'ultimo che giunge in P dopo una sola diffusione da parte degli aerosoli  si può stimare, ad esempio, con l'espressione (2.37). Come abbiamo visto, le molecole contenute nel volume dV diffondono la luce incidente per diffusione Rayleigh (scattering Rayleigh) mentre gli aerosoli per diffusione di Mie. Chiamiamo $\theta$ l'angolo SPO . La sezione d'urto angolare della diffusione Rayleigh sia: $$\sigma_{mol}(\theta)=\sigma_{0,mol} \frac{3}{16\pi}\left( 1+\cos^{2}(\theta)\right)$$

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e la sezione d'urto angolare della diffusione di Mie degli aerosoli sia $\sigma_{aer}(\theta)= \sigma_{a}\times f(\theta)$ come abbiamo visto nel paragrafo 2.3.4. Se E_PO è l'estinzione  tra P e l'osservatore O, il flusso $\Phi$ ricevuto da O in un area unitaria da un area angolare di cielo $\omega$ è: $$\Phi=\int \left(E_{SP}\frac{I_{S}}{s^{2}}+i_{ms}\right) \frac... ...}(\theta)+N_{aer}(h)\sigma_{aer}(\theta )\right] \omega u^{2}du$$

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La brillanza del cielo dovuta all'inquinamento luminosoè altro che il flusso per unità di angolo solido di cielo, cioè $\Phi/\omega$. Questo integrale si può calcolare facilmente utilizzando le approssimazioni fatte in precedenza. La brillanza del cielo in magnitudini si ottiene dalla somma della brillanza ``artificiale'' del cielo con quella naturale: $$m=cost-2.5 \log (b_{nat}+b_{artif})$$

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Il valore della costante dipende ovviamente dalle unità di misura adottate e si può trovare nella sezione 3.1.